महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): परिभाषा, विधियाँ और उदाहरण

 HCF और LCM: परिभाषा, उदाहरण, सूत्र और सवाल - पूरी जानकारी

गणित एक ऐसी विषयवस्तु है जो जीवन के हर पहलू में उपयोगी है। विशेष रूप से प्रतियोगी परीक्षाओं में गणित का महत्त्व अत्यधिक होता है। गणित के कुछ मूलभूत टॉपिक्स में से एक है – HCF (Highest Common Factor) और LCM (Least Common Multiple)। यह दोनों विषय विद्यार्थियों के लिए समझना आवश्यक है क्योंकि ये न केवल परीक्षाओं में प्रश्नों का आधार होते हैं, बल्कि दैनिक जीवन में भी उपयोग में आते हैं। इस ब्लॉग में हम HCF और LCM से जुड़ी सभी जरूरी जानकारी – उनकी परिभाषा, अंतर, सूत्र, उदाहरण और महत्वपूर्ण प्रश्नों को विस्तार से समझेंगे।

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HCF क्या होता है? (What is HCF in Hindi)

HCF का पूरा नाम Highest Common Factor होता है, जिसे हिंदी में महत्तम समापवर्त्य कहा जाता है। यह दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा ऐसा संख्या होता है जो उन सभी संख्याओं को पूर्ण रूप से विभाजित कर सके।

उदाहरण:

मान लीजिए हमें 12 और 18 का HCF निकालना है।

12 के भाजक: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 के भाजक: 1, 2, 3, 6, 9, 18
इन दोनों में सामान्य भाजक हैं: 1, 2, 3, 6
इनमें सबसे बड़ा सामान्य भाजक है: 6

अतः 12 और 18 का HCF = 6

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LCM क्या होता है? (What is LCM in Hindi)

LCM का पूरा नाम Least Common Multiple होता है, जिसे हिंदी में लघुत्तम समापवर्त्य कहा जाता है। यह दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे छोटा ऐसा गुणज (multiple) होता है जो उन सभी संख्याओं से विभाज्य हो।

उदाहरण:

12 और 18 का LCM निकालते हैं।

12 के गुणज: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
18 के गुणज: 18, 36, 54, 72, 90, ...
इनमें सबसे पहला सामान्य गुणज है: 36

अतः 12 और 18 का LCM = 36

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HCF और LCM निकालने के तरीके

1. गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method)

इस विधि में हम संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखण्डों में विभाजित करते हैं और फिर HCF के लिए सामान्य गुणनखण्डों का गुणन करते हैं, और LCM के लिए सभी गुणनखण्डों का अधिकतम घातों के साथ गुणन करते हैं।

उदाहरण:

संख्या: 12 और 18

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²

HCF = सामान्य अभाज्य गुणनखंड: 2¹ × 3¹ = 6
LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों का उच्चतम घात: 2² × 3² = 36

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2. भाग विधि (Division Method) - विशेषकर HCF के लिए

मान लीजिए हमें 24 और 36 का HCF निकालना है।

36 ÷ 24 = 1 शेष 12
24 ÷ 12 = 2 शेष 0

जब शेषफल 0 हो जाए, तो अंतिम भाजक ही HCF होता है।

HCF = 12

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3. गुणज विधि (Common Multiple Method) - विशेषकर LCM के लिए

इस विधि में दोनों संख्याओं के गुणज लिखकर पहला समान गुणज खोजा जाता है।

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HCF और LCM में अंतर (Difference Between HCF and LCM)

बिंदु	HCF (महत्तम समापवर्त्य)	LCM (लघुत्तम समापवर्त्य)
परिभाषा	सामान्य सबसे बड़ा भाजक	सामान्य सबसे छोटा गुणज
उद्देश्य	भाग करने के लिए	समान गुणज खोजने के लिए
विधि	भाजकों का उपयोग	गुणजों का उपयोग
मान	हमेशा छोटा या बराबर	हमेशा बड़ा या बराबर

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HCF और LCM के बीच संबंध (Relation Between HCF and LCM)

किसी दो संख्याओं के लिए:

HCF × LCM = संख्या 1 × संख्या 2

उदाहरण:

संख्या: 12 और 18
HCF = 6, LCM = 36

⇒ 6 × 36 = 216
⇒ 12 × 18 = 216

दोनों बराबर हैं। यह फॉर्मूला बहुत उपयोगी होता है।

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HCF और LCM से जुड़े महत्वपूर्ण प्रश्न (Important Questions for Practice)

1. 15 और 25 का HCF और LCM निकालिए।

   • 15 = 3 × 5

   • 25 = 5 × 5

   • HCF = 5, LCM = 3 × 5 × 5 = 75

2. दो संख्याएँ 36 और 48 हैं। उनका HCF और LCM निकालिए।

   • HCF = 12, LCM = 144

3. दो संख्याओं का गुणनफल 960 है और उनका HCF = 8 है, तो LCM क्या होगा?

   • HCF × LCM = 960

   • 8 × LCM = 960 ⇒ LCM = 120

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प्रतियोगी परीक्षाओं में HCF और LCM के प्रश्नों के प्रकार

HCF और LCM से निम्न प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं:

• दो संख्याओं का HCF या LCM निकालना

• तीन या अधिक संख्याओं का HCF/LCM

• HCF और LCM के आधार पर संख्याएँ ज्ञात करना

• समय और कार्य, पाइप और टंकी जैसे टॉपिक्स में LCM का उपयोग

• एक साथ दो घटनाओं की पुनरावृत्ति संबंधी प्रश्न

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दैनिक जीवन में HCF और LCM का उपयोग

1. पैकेजिंग और वितरण: जब वस्तुएं समान रूप से बाँटी जाती हैं तो HCF का उपयोग होता है।

2. समय निर्धारण: दो घटनाओं के एक साथ होने का समय जानने के लिए LCM का उपयोग होता है।

3. तारों की लंबाई या टाइल्स की गणना: समान लंबाई या आकार में काटने या लगाने के लिए HCF काम आता है।

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निष्कर्ष (Conclusion)

HCF और LCM गणित की नींव हैं। यदि इनकी सही समझ हो, तो आप न केवल गणितीय सवालों को हल कर सकते हैं बल्कि अपने दैनिक जीवन में भी तार्किक निर्णय ले सकते हैं। प्रतियोगी परीक्षाओं में यह विषय अत्यंत महत्वपूर्ण है और इसकी अच्छी तैयारी आपको बेहतर परिणाम दिला सकती है।

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सुझाव (Tips for Students)

• नियमित अभ्यास करें और विभिन्न विधियों से सवाल हल करें।

• Prime factorization विधि को अच्छी तरह समझें।

• कठिन सवालों को हल करने के लिए HCF × LCM = संख्या 1 × संख्या 2 फॉर्मूले का उपयोग करें।

• समय-समय पर मॉक टेस्ट देकर अपनी गति और सटीकता बढ़ाएं।

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