दशमलव और भिन्न: संख्याओं की सूक्ष्म समझ | Decimals and Fractions in Maths Education

दशमलव और भिन्न: संख्याओं की सूक्ष्म समझ | Decimals and Fractions in Maths Education

गणित की दुनिया में संख्याओं की दो महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं – दशमलव (Decimals) और भिन्न (Fractions)। ये दोनों संख्याएं पूर्ण संख्याओं से कम मात्राओं को दर्शाने के लिए उपयोग की जाती हैं। छात्रों के लिए इनकी गहन समझ आवश्यक है क्योंकि ये गणना, मापन और दैनिक जीवन की कई परिस्थितियों में प्रयोग होती हैं।

1. दशमलव (Decimals) {#dashamlav}

1.1 दशमलव की परिभाषा

जब कोई संख्या 1 से कम होती है और उसे दशमलव बिंदु (.) द्वारा व्यक्त किया जाता है, तो उसे दशमलव संख्या कहते हैं। जैसे – 0.5, 2.75, 3.141 इत्यादि।

1.2 दशमलव संख्याओं का स्थानिक मान

दशमलव बिंदु के बाईं ओर पूर्णांक और दाईं ओर अंश होते हैं। दाईं ओर के स्थानों का मान इस प्रकार होता है:

• पहला स्थान: दशमांश (Tenths) – $\frac{1}{10}$

• दूसरा स्थान: सैकांश (Hundredths) – $\frac{1}{100}$

• तीसरा स्थान: सहस्रांश (Thousandths) – $\frac{1}{1000}$

उदाहरण:
संख्या 4.356 में:

• 4 → इकाई

• 3 → दशमांश

• 5 → सैकांश

• 6 → सहस्रांश

1.3 दशमलव संख्याओं की तुलना: आरोही एवं अवरोही क्रम

पूर्णांक समान हों तो दशमलव के दाईं ओर के अंशों की तुलना की जाती है।
दशमलव अंश समान हों तो पूर्णांक की तुलना की जाती है।

उदाहरण –
आरोही क्रम:
4.456 < 4.854

अवरोही क्रम:
3415.2958 > 3412.1111 > 2417.957 > 2417.135

1.4 दशमलव का गुणा एवं भाग

गुणा (Multiplication):

दशमलव संख्याओं को पहले पूर्णांकों की तरह गुणा करें, फिर उत्तर में दोनों संख्याओं के दशमलव स्थानों को जोड़कर उतने स्थानों से दशमलव बिंदु लगाएँ।

उदाहरण:
0.456 × 0.854 = 389424
दोनों में कुल दशमलव स्थान = 6
तो उत्तर = 0.389424

भाग (Division):

दोनों संख्याओं को समान दशमलव स्थान तक विस्तारित करें, फिर सामान्य तरीके से भाग करें।

उदाहरण:
0.5 ÷ 0.25 =
(50 ÷ 25) = 2

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2. भिन्न (Fractions) {#bhinn}

2.1 भिन्न की परिभाषा

जब किसी संपूर्ण वस्तु या संख्या को बराबर भागों में विभाजित किया जाता है और उसमें से कुछ भाग चुने जाते हैं, तो उसे भिन्न कहा जाता है।

उदाहरण: $\frac{3}{4}$ → इसमें 3 अंश और 4 हर हैं।

2.2 भिन्न के भाग

• अंश (Numerator): भिन्न का ऊपरी भाग – जो भाग दर्शाता है।

• हर (Denominator): भिन्न का निचला भाग – जो कुल भागों की संख्या दर्शाता है।

• मिश्र भिन्न (Mixed Fraction): पूर्णांक और भिन्न का संयोजन।
  जैसे: $1\frac{2}{3}$

2.3 भिन्नों की तुलना

समान हर वाली भिन्नें:

बड़े अंश वाली भिन्न अधिक होती है।

उदाहरण:
$\frac{7}{3} > \frac{5}{3}$

असमान हर वाली भिन्नें:

जब अंश समान हों तो हर जितनी छोटी, भिन्न उतनी बड़ी।

उदाहरण:
$\frac{5}{3} < \frac{5}{2}$

अन्य विधि: हर का LCM लेकर तुलना करें

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3. भिन्नों का योग एवं अंतर

3.1 प्रक्रिया:

1. सभी भिन्नों का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) निकालें।

2. हर को LCM के बराबर लाने हेतु गुणा करें और उसी से अंश को भी गुणा करें।

3. फिर अंशों का योग या अंतर करें।

उदाहरण:
$\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}$

हर का LCM = 12
तो,

• $\frac{1×3}{12} = \frac{3}{12}$

• $\frac{2×4}{12} = \frac{8}{12}$

• $\frac{3×3}{12} = \frac{9}{12}$

योग: $\frac{3 + 8 + 9}{12} = \frac{20}{12} = 1\frac{2}{3}$

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4. भिन्नों का गुणा एवं भाग

गुणा (Multiplication):

• अंश × अंश,

• हर × हर

उदाहरण:
$\frac{2}{3} × \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$

भाग (Division):

दूसरे भिन्न का उल्टा (Reciprocal) लेकर गुणा करें।

उदाहरण:
$\frac{13}{6} ÷ \frac{7}{5} = \frac{13}{6} × \frac{5}{7} = \frac{65}{42}$

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5. दशमलव और भिन्न में रूपांतरण

दशमलव से भिन्न:

0.75 = $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

भिन्न से दशमलव:

$\frac{3}{4} = 0.75$

आवर्ती दशमलव:

यदि दशमलव अंश दोहराया जाता है जैसे 0.333…, तो उसे $\frac{1}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

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निष्कर्ष

दशमलव और भिन्न गणितीय संक्रियाओं का एक मूलभूत हिस्सा हैं। चाहे वह मापन हो, वित्तीय गणना हो या प्रतिशत निकालना – इन दोनों का ज्ञान अत्यंत आवश्यक है। छात्रों को इनकी अच्छी समझ होनी चाहिए ताकि वे गणित में आत्मविश्वास से आगे बढ़ सकें।

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