📘 संख्या पद्धति (Number System in Hindi) – पूरी जानकारी उदाहरण सहित | RJNewsJPR

 📘 संख्या पद्धति  (Number System in Hindi) – पूरी जानकारी उदाहरण सहित | RJNewsJPR

RJNewsJPR शिक्षा डेस्क द्वारा प्रस्तुत
गणित की दुनिया में अगर किसी विषय की नींव सबसे मजबूत होनी चाहिए, तो वह है "नंबर सिस्टम" (Number System)। सभी प्रकार की गणनाओं, समीकरणों और अवधारणाओं की शुरुआत संख्याओं से होती है। इस ब्लॉग में हम विस्तार से जानेंगे नंबर सिस्टम के सभी प्रकारों को, आसान भाषा में उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के साथ।

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🔢 नंबर सिस्टम क्या होता है?

नंबर सिस्टम एक ऐसा तरीका है जिसके माध्यम से हम संख्याओं को पढ़ते, लिखते और समझते हैं। इसकी मदद से हम गणितीय समस्याओं को हल करते हैं। यह विभिन्न प्रकार की संख्याओं में विभाजित होता है, जिनका उपयोग हम अपने दैनिक जीवन और प्रतियोगी परीक्षाओं में करते हैं।

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✅ 1. प्राकृत संख्याएं (Natural Numbers)

परिभाषा:
वह संख्याएं जिनसे गिनती की शुरुआत होती है, प्राकृत संख्याएं कहलाती हैं। ये संख्याएं 1 से शुरू होती हैं।

उदाहरण:
1, 2, 3, 4, 5, … ∞
प्रतीक: इन्हें [n) से दर्शाते हैं।

👉 ध्यान दें: 0 कोई प्राकृत संख्या नहीं है।

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✅ 2. पूर्ण संख्याएं (Whole Numbers)

परिभाषा:
प्राकृत संख्याओं में जब 0 को भी शामिल किया जाता है, तो उसे पूर्ण संख्याएं कहा जाता है।

उदाहरण:
0, 1, 2, 3, 4, 5, …

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✅ 3. पूर्णांक (Integers)

परिभाषा:
धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याओं के साथ 0 को मिलाकर जो समूह बनता है, उसे पूर्णांक कहते हैं।

उदाहरण:
… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

संकेत: Z द्वारा दर्शाया जाता है।

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✅ 4. अभाज्य संख्याएं (Prime Numbers)

परिभाषा:
ऐसी संख्याएं जिनके केवल दो भाजक होते हैं — 1 और स्वयं।

उदाहरण:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…

👉 महत्वपूर्ण तथ्य: 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

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✅ 5. भाज्य या यौगिक संख्याएं (Composite Numbers)

परिभाषा:
ऐसी संख्याएं जिनके दो से अधिक भाजक होते हैं।

उदाहरण:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14…

👉 1 न तो अभाज्य है, न ही यौगिक।

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✅ 6. असहभाज्य संख्याएं (Co-prime Numbers)

परिभाषा:
दो संख्याएं जिनका HCF = 1 हो, उन्हें असहभाज्य संख्या कहा जाता है।

उदाहरण:
(8, 15), (4, 9), (14, 25)

👉 जरूरी नहीं कि दोनों अभाज्य हों, बस आपस में कोई कॉमन भाजक न हो।

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✅ 7. सम संख्याएं (Even Numbers)

परिभाषा:
वह संख्याएं जो 2 से पूरी तरह विभाजित हो जाएं।

उदाहरण:
2, 4, 6, 8, 10, …

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✅ 8. विषम संख्याएं (Odd Numbers)

परिभाषा:
वह संख्याएं जो 2 से विभाजित नहीं हो सकतीं।

उदाहरण:
1, 3, 5, 7, 9, …

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✅ 9. परिमेय संख्याएं (Rational Numbers)

परिभाषा:
ऐसी संख्याएं जिन्हें $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहां $q ≠ 0$ हो।

उदाहरण:
$\frac{2}{3}, \frac{-5}{4}, 7, 0$

👉 7 = $\frac{7}{1}$, इसलिए परिमेय है।

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✅ 10. अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers)

परिभाषा:
ऐसी संख्याएं जिन्हें किसी भी भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता।

उदाहरण:
√2, √3, π, e

👉 इनका दशमलव विस्तार कभी खत्म नहीं होता और न दोहराता है।

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✅ 11. वास्तविक संख्याएं (Real Numbers)

परिभाषा:
सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समूह वास्तविक संख्या कहलाता है।

उदाहरण:
-4, 0, 2.5, π, √2

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✅ 12. अवास्तविक संख्याएं (Imaginary Numbers)

परिभाषा:
ऐसी संख्याएं जिनका वर्ग ऋणात्मक होता है। इन्हें i (iota) से दर्शाते हैं।

उदाहरण:
i (जहां $i^2 = -1$), 3i, -2i

👉 ये गणित के उच्च स्तरीय विषयों में उपयोग होती हैं।

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🧠 अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

1. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अभाज्य है?
   a) 9
   b) 13
   c) 15
   d) 21
   ✔️ उत्तर: b) 13

2. 0 किस संख्या वर्ग में आता है?
   ✔️ उत्तर: पूर्ण संख्या, पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक संख्या

3. √3 किस प्रकार की संख्या है?
   ✔️ उत्तर: अपरिमेय संख्या

4. 8 और 15 क्या हैं?
   ✔️ उत्तर: असहभाज्य संख्याएं

5. सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है?
   ✔️ उत्तर: 2

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स्थानीय मान और जातीय मान (Place Value and Face Value) – नंबर सिस्टम की मूलभूत जानकारी

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जब हम अंकों की बात करते हैं, तो दो मुख्य मान सामने आते हैं: स्थानीय मान (Place Value) और जातीय मान (Face Value)। यह लेख खास तौर पर स्कूल स्तर के छात्रों और प्रतियोगी परीक्षाओं की तैयारी कर रहे अभ्यर्थियों के लिए उपयोगी है।

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1. स्थानीय मान (Place Value) क्या होता है?

किसी भी संख्या में कोई अंक किस स्थान पर स्थित है, वही उस अंक का स्थानीय मान कहलाता है। यानी, वह अंक उस स्थान के मूल्य से गुणा होकर अपना स्थानीय मान देता है।

उदाहरण:

• संख्या 637 में:

  • अंक 7 → इकाई पर → स्थानीय मान = 7 × 1 = 7

  • अंक 3 → दहाई पर → स्थानीय मान = 3 × 10 = 30

  • अंक 6 → सैंकड़े पर → स्थानीय मान = 6 × 100 = 600

• संख्या 39451 में:

  • अंक 9 → हजार के स्थान पर → स्थानीय मान = 9 × 1000 = 9000

स्थानीय मान की सारणी:

स्थान	गुणनांक
इकाई (Unit)	अंक × 1
दहाई (Tens)	अंक × 10
सैंकड़ा (Hundred)	अंक × 100
हजार (Thousand)	अंक × 1000
दस हजार	अंक × 10000

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2. जातीय मान (Face Value) क्या होता है?

जातीय मान को अंकित मान, वास्तविक मान या शुद्ध मान भी कहा जाता है। यह हमेशा अंक के अपने वास्तविक मूल्य को दर्शाता है, चाहे वह किसी भी स्थान पर स्थित हो।

उदाहरण:

संख्या 357 में:

• अंक 3 का जातीय मान = 3

• अंक 5 का जातीय मान = 5

• अंक 7 का जातीय मान = 7

विशेष नोट्स:

1. इकाई के स्थान पर किसी अंक का स्थानीय मान और जातीय मान एक समान होता है।

2. शून्य (०) का स्थानीय और जातीय दोनों मान हमेशा शून्य (०) ही होता है।

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3. परिमेय संख्याओं में उपयोग – वितरण गुण

स्थानीय और जातीय मान की समझ गुणा व वितरण (Distributive Property) जैसी संकल्पनाओं में भी सहायक होती है।

गुणन में वितरण:

यदि हमारे पास कोई संख्या है:
a × (b + c) = a × b + a × c
तो यह संख्या प्रणाली में अंकों के स्थानीय मान को समझने में सहायक होता है।

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4. परिमेय संख्याओं के मध्य संख्याएँ

दो परिमेय संख्याओं के बीच में अनंत परिमेय संख्याएँ हो सकती हैं। इनकी गणना के लिए माध्य (Average) का उपयोग किया जाता है।

सूत्र:

दो संख्याओं a और b के मध्य की संख्या:
(a + b) / 2

स्थानीय मान और जातीय मान की स्पष्ट समझ न केवल छात्रों को गणितीय सवालों को हल करने में मदद करती है, बल्कि यह नंबर सिस्टम की जड़ तक पहुंचने का मार्ग भी खोलती है। यह विषय बोर्ड परीक्षाओं और प्रतियोगी परीक्षाओं दोनों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

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🔎 अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

Q1. क्या किसी संख्या में सभी अंकों का जातीय मान एक जैसा होता है?
हां, जातीय मान हमेशा उस अंक के वास्तविक मान के बराबर होता है, स्थान की परवाह किए बिना।

Q2. क्या शून्य (0) का कोई स्थानीय मान होता है?
हां, लेकिन वह भी शून्य ही होता है। जैसे, 0 × कोई स्थान = 0

Q3. संख्या 204 में '0' का स्थानीय मान क्या होगा?
0 × 10 = 0

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भाजकता के नियम एवं BODMAS नियम — उदाहरण सहित

गणित एक ऐसा विषय है जो केवल अंकों का खेल नहीं, बल्कि सोचने और समझने की कला भी है। इसमें कुछ नियमों को जानकर कठिन से कठिन सवाल को भी आसानी से हल किया जा सकता है। इस ब्लॉग में हम दो महत्वपूर्ण विषयों को विस्तार से जानेंगे:

1. भाजकता के नियम (Divisibility Rules)

2. BODMAS नियम (BODMAS Rule)

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🔢 1. भाजकता के नियम (Divisibility Rules)

भाजकता के नियम यह निर्धारित करने में मदद करते हैं कि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से बिना भाग दिए ही विभाज्य है या नहीं। इससे गणना में समय की बचत होती है।

✅ भाजकता के प्रमुख नियम:

➤ 2 से भाज्यता:

यदि संख्या का अंतिम अंक (इकाई का अंक) 0, 2, 4, 6 या 8 हो तो वह संख्या 2 से विभाज्य होती है।

उदाहरण:

• 124 → 4 अंतिम अंक है → 2 से विभाज्य

• 135 → 5 अंतिम अंक है → नहीं विभाज्य

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➤ 3 से भाज्यता:

यदि किसी संख्या के सभी अंकों का योग 3 के गुणनफल (multiple) में आता हो, तो वह संख्या 3 से विभाज्य होती है।

उदाहरण:

• 123 → 1+2+3 = 6 → 6 ÷ 3 = 2 → विभाज्य

• 145 → 1+4+5 = 10 → नहीं विभाज्य

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➤ 4 से भाज्यता:

यदि अंतिम दो अंक मिलाकर बनी संख्या 4 से विभाज्य हो, तो वह पूर्ण संख्या भी 4 से विभाज्य होती है।

उदाहरण:

• 316 → अंतिम दो अंक: 16 → 16 ÷ 4 = 4 → विभाज्य

• 123 → अंतिम दो अंक: 23 → नहीं विभाज्य

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➤ 5 से भाज्यता:

यदि संख्या का अंतिम अंक 0 या 5 हो, तो वह 5 से विभाज्य होती है।

उदाहरण:

• 120 → अंतिम अंक 0 → विभाज्य

• 127 → अंतिम अंक 7 → नहीं विभाज्य

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➤ 6 से भाज्यता:

यदि कोई संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, तो वह 6 से भी विभाज्य होती है।

उदाहरण:

• 72 → 2 से विभाज्य (अंतिम अंक 2), 3 से भी (7+2 = 9) → 6 से भी विभाज्य

• 45 → 3 से तो है पर 2 से नहीं → नहीं विभाज्य

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➤ 9 से भाज्यता:

सभी अंकों का योग 9 के गुणज (multiple) में हो।

उदाहरण:

• 729 → 7+2+9 = 18 → 18 ÷ 9 = 2 → विभाज्य

✅ 10 से भाज्यता (Divisibility by 10):

यदि संख्या का अंतिम अंक 0 हो, तो वह संख्या 10 से विभाज्य होती है।

उदाहरण:

• 150 → अंतिम अंक 0 → विभाज्य

• 253 → अंतिम अंक 3 → नहीं विभाज्य

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✅ 11 से भाज्यता (Divisibility by 11):

यदि अंकों के बीच बारी-बारी से जोड़-घटाव (alternate addition-subtraction) करने पर प्राप्त उत्तर 11 से विभाज्य हो या 0 हो, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होती है।

उदाहरण:

• 121 → 1 − 2 + 1 = 0 → 11 से विभाज्य

• 2728 → 2 − 7 + 2 − 8 = -11 → 11 से विभाज्य

• 123 → 1 − 2 + 3 = 2 → नहीं विभाज्य

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✅ 12 से भाज्यता (Divisibility by 12):

यदि कोई संख्या 3 और 4 दोनों से विभाज्य हो, तो वह 12 से भी विभाज्य होती है।

उदाहरण:

• 144 →

  • 1+4+4 = 9 → 3 से विभाज्य

  • अंतिम दो अंक 44 → 4 से विभाज्य
    → तो 144 = 12 × 12 → विभाज्य

• 124 →

  • 1+2+4 = 7 → 3 से नहीं
    → नहीं विभाज्य

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✅ 13 से भाज्यता (Divisibility by 13):

13 के लिए कोई आसान मानसिक ट्रिक नहीं है, लेकिन कुछ विशेष ट्रिक का प्रयोग किया जाता है। एक तरीका यह है:

👉 एक अंक हटाकर बचे हुए अंकों से 9 गुना उस अंक को घटा दो। यदि नई संख्या 13 से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी है।
यह नियम ज़्यादा जटिल है, इसलिए प्रायः लंबी विभाजन विधि (Long Division) का प्रयोग किया जाता है।

उदाहरण:

• 351 → 35 − (9×1) = 35 − 9 = 26 → 26 ÷ 13 = 2 → विभाज्य

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✅ 14 से भाज्यता (Divisibility by 14):

यदि संख्या 2 और 7 दोनों से विभाज्य है, तो वह 14 से विभाज्य होगी।

उदाहरण:

• 98 →

  • 2 से विभाज्य (अंतिम अंक 8)

  • 98 ÷ 7 = 14
    → तो 14 से भी विभाज्य

• 84 →

  • 2 से हाँ

  • 84 ÷ 7 = 12
    → तो विभाज्य

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✅ 15 से भाज्यता (Divisibility by 15):

यदि कोई संख्या 3 और 5 दोनों से विभाज्य हो, तो वह 15 से विभाज्य होती है।

उदाहरण:

• 90 →

  • 9+0 = 9 → 3 से विभाज्य

  • अंतिम अंक 0 → 5 से विभाज्य
    → तो 15 से विभाज्य

• 45 →

  • 4+5 = 9 → 3 से हाँ

  • अंतिम अंक 5 → 5 से हाँ
    → तो 15 से विभाज्य

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✅ संक्षिप्त सारणी (Quick Table)

संख्या	विभाज्यता का नियम	उदाहरण (विभाज्य)	उदाहरण (नहीं विभाज्य)
10	अंतिम अंक 0	150	253
11	वैकल्पिक जोड़-घटाव 0 या 11 का गुणज हो	121, 2728	123
12	3 और 4 दोनों से विभाज्य	144	124
13	विशेष ट्रिक या लंबा भाग	351	169 (जाँचना पड़ेगा)
14	2 और 7 दोनों से विभाज्य	98	49
15	3 और 5 दोनों से विभाज्य	90, 45	25

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📝 अभ्यास प्रश्न (Practice Questions):

1. क्या 286 11 से विभाज्य है?

2. 195 क्या 15 से विभाज्य है?

3. 364 क्या 13 से विभाज्य है?

4. 168 किस-किस संख्या से विभाज्य है: 2, 3, 4, 6, 12, 14?

5. 220 क्या 10, 11 और 15 में से किन-किन से विभाज्य है?

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📝 प्रश्न (Divisibility Questions):

1. क्या 348 संख्या 3 से विभाज्य है?

2. 425 क्या 5 से विभाज्य है?

3. 1176 किस-किस संख्या से विभाज्य है: 2, 3, 4, 6?

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📚 2. BODMAS नियम (BODMAS Rule)

BODMAS गणितीय संचालन का क्रम (order of operations) बताता है। इसका पूरा नाम है:

• B – Brackets (कोष्ठक)

• O – Orders (घातांक या वर्गमूल)

• D – Division (भाग)

• M – Multiplication (गुणा)

• A – Addition (जोड़)

• S – Subtraction (घटाना)

इस नियम के अनुसार पहले कोष्ठक, फिर घातांक, फिर भाग/गुणा (बाएं से दाएं), फिर जोड़/घटाना (बाएं से दाएं) किया जाता है।

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🧮 उदाहरण:

➤ Q1. 15 + 6 × 2 = ?

हल: पहले गुणा करें:
→ 15 + (6×2) = 15 + 12 = 27

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➤ Q2. (8 + 4) ÷ 3 × 2 = ?

हल:
→ कोष्ठक: (8+4) = 12
→ फिर भाग और गुणा: 12 ÷ 3 = 4
→ 4 × 2 = 8

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➤ Q3. 25 − 5 × (3 + 2) = ?

→ कोष्ठक: (3+2) = 5
→ फिर गुणा: 5×5 = 25
→ 25 − 25 = 0

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📝 प्रश्न (BODMAS Questions):

1. (7 + 3) × 2 − 4 = ?

2. 20 − 6 ÷ 2 = ?

3. 10 + 6 × (4 − 2) = ?

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✍️ निष्कर्ष:

• भाजकता के नियम से हमें बड़ी संख्याओं के गुणनखंड और विभाज्यता को जल्दी समझने में मदद मिलती है।

• BODMAS नियम यह सुनिश्चित करता है कि गणना का क्रम सही हो ताकि उत्तर सटीक हो।

यदि आप इन नियमों का अच्छे से अभ्यास करें, तो गणित के कई सवालों को हल करना आसान हो जाएगा।

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📈 नंबर सिस्टम का महत्व

• प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे SSC, UPSC, Bank, रेलवे, CTET आदि में अक्सर नंबर सिस्टम से प्रश्न पूछे जाते हैं।

• यह बुनियादी गणित का मूल आधार है।

• एक बार इस टॉपिक को सही से समझ लिया जाए, तो आगे की कई गणनाएं सरल हो जाती हैं।

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📝 निष्कर्ष (Conclusion)

नंबर सिस्टम सिर्फ गणित का एक विषय नहीं, बल्कि गणना और सोचने की एक प्रक्रिया है। अगर आप इसका सही अभ्यास करें तो यह विषय आपको स्कोर दिलाने वाला साबित हो सकता है। इस लेख में दी गई परिभाषाएं, उदाहरण और प्रश्न प्रतियोगी छात्रों के लिए काफी उपयोगी होंगे।

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